\documentclass[11pt,a4paper,landscape,twocolumn]{article}


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\lhead{MPSI - Optique - Miroirs sphériques et lentilles minces dans l'approximation de Gauss}      %en-tête
\chead{}%
\rhead{page \thepage/\pageref{dernierepage}}%
\lfoot{\tiny{Damien DECOUT - dernière modification : janvier 2007}}%
\cfoot{}%
\rfoot{}%
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\pagestyle{fancy}




\newcommand{\cadre}[1]
{\begin{center}%
  \fbox{\begin{minipage}{13.3cm} #1 \end{minipage}}%
 \end{center}}



\newcommand{\graphique}[2]{
 \begin{center}
 \includegraphics[#1]{#2}
 \end{center}
}




\begin{document}



\part*{Miroirs sphériques et lentilles minces dans l'approximation de Gauss}
\noindent Expériences et simulations permettent de conclure que les miroirs et les lentilles sphériques ne donnent d'un point A une unique image
A' que dans certaines conditions appelées conditions de Gauss : \cadre{Les rayons lumineux sont proches de l'axe et peu inclinés par rapport à
l'axe.}

\tableofcontents


\section{Miroirs sphériques}


\subsection{Miroir concave (convergent) ou convexe (divergent)}
\noindent Miroir concave :%
\graphique{height=3.7cm}{miroir_concave}
\noindent Miroir convexe :%
\graphique{height=4cm}{miroir_convexe}



\subsection{Stigmatisme approché dans les conditions de Gauss}
\graphique{height=5cm}{relation_conjugaison}
$$i=\beta-\alpha=\alpha'-\beta\Rightarrow \alpha+\alpha'=2\beta$$
Dans les conditions de Gauss où les rayons sont proches de l'axe et peu inclinés par rapport à l'axe :
$$\alpha\simeq-\dfrac{\overline{HI}}{\overline{SA}}\quad\alpha'\simeq-\dfrac{\overline{HI}}{\overline{SA'}}\quad\beta\simeq-\dfrac{\overline{HI}}{\overline{SC}}$$
d'où la \textbf{relation de conjugaison} (indépendante du rayon
considéré)
$$\boxed{\dfrac{1}{\overline{SA}}+\dfrac{1}{\overline{SA'}}=\dfrac{2}{\overline{SC}}}$$
On parle de \textbf{stigmatisme approché}
$$A\xrightarrow{miroir\ spherique} A'$$
On dit que A' est le conjugué de A ou encore que A et A' sont
conjugués.



\subsection{Points particuliers - Distance focale - Vergence}
\noindent Si $A=C$ alors $A'=C$
$$C\xrightarrow{miroir\ spherique} C$$
\\
Si $A=A_\infty$ alors $A'=F'$
$$A_\infty\xrightarrow{miroir\ spherique} F'$$
$F'$ \textbf{foyer image} tel que
$$\boxed{\overline{SF'}=\dfrac{\overline{SC}}{2}=f'=\dfrac{1}{V}}$$
$f'$ \textbf{distance focale image} et $V$ \textbf{vergence}\\
\\
Si $A'=A_\infty'$ alors $A=F$
$$F\xrightarrow{miroir\ spherique} A'_\infty$$
$F$ \textbf{foyer objet} tel que
$$\boxed{\overline{SF}=\dfrac{\overline{SC}}{2}=f}$$
$f$ \textbf{distance focale objet}\\
\\
Un rayon parallèle à l'axe optique (issu d'un point à l'$\infty$
sur l'axe) est réfléchi en passant par $F'$.\\
Un rayon passant par $F$ est réfléchi parallèlement à l'axe
optique (« convergeant » vers un point à l'$\infty$ sur l'axe).


\subsection{Aplanétisme approché dans les conditions de Gauss -
Plan focal} %
\noindent Voir simulation.\\
Stigmatisme dans les conditions de Gauss :
$$A\xrightarrow{miroir\ spherique} A'$$
$$B\xrightarrow{miroir\ spherique} B'$$
Aplanétisme dans les conditions de Gauss : $B'$ est dans le plan
perpendiculaire à l'axe passant pas $A'$.\\
De même
$$A_\infty\xrightarrow{miroir\ spherique} F'$$
$$B_\infty\xrightarrow{miroir\ spherique} $$
le conjugué de $B_\infty$ est dans le plan perpendiculaire à l'axe
passant par $F'$ appelé \textbf{plan focal}.



\subsection{Modélisation du miroir sphérique et constructions
géométriques}%
\subsubsection{Modélisation}
\noindent Cette modélisation concerne le miroir sphérique utilisé
dans les conditions de Gauss.\\
On dilate les schémas perpendiculairement à l'axe optique. \\
\pagebreak
Miroir concave :
\graphique{height=4cm}{modelisation_concave} %
Miroir convexe :
\graphique{height=4cm}{modelisation_convexe} %
Attention, les lois de la réflexion ne sont plus vérifiées sur le schéma (sauf en $S$) !


\subsubsection{Construction de l'image $A'$ d'un point $A$ sur l'axe}
$$A\rightarrow B\xrightarrow{stigmatisme} B'\xrightarrow{aplanetisme} A'$$
L'image d'un point étant un point, deux rayons suffisent pour
trouver $B'$ à choisir parmi les 3 rayons remarquables suivants :
\begin{itemize}
    \item Le rayon parallèle à l'axe (issu d'un point à l'infini
    sur l'axe) et passant par $B$ est réfléchi en passant par $F'$;
    \item Le rayon passant par $B$ et par $F$ est réfléchi
    parallèlement à l'axe;
    \item Le rayon passant par $B$ et par $C$ est réfléchi en
    repassant par $C$.
\end{itemize}
\graphique{height=5cm}{construction_image_point}


\subsubsection{Construction d'un rayon réfléchi}
$$B_\infty\rightarrow A_\infty\xrightarrow{stigmatisme} F'\xrightarrow{aplanetisme} B'$$
On fait comme si le rayon parvenait d'un point à l'infini en
dehors de l'axe; le rayon parallèle passant par C (provenant aussi
de $B_\infty$) coupe le plan focal en $B'$ conjugué de $B_\infty$;
Tous les rayons issus de $B_\infty$ convergent en $B'$ après
réflexion (stigmatisme), le rayon est donc réfléchi en passant par
$B'$ %
\graphique{height=5cm}{construction_rayon_reflechi}



\subsection{Relations de conjugaison et grandissement}
\graphique{height=5cm}{relation_conjugaison2}%
Dans les triangles ABS et A'B'S
$$\dfrac{\overline{AB}}{\overline{SA}}=-\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{SA'}}$$
Dans les triangles ABC et A'B'C
$$\dfrac{\overline{AB}}{\overline{CA}}=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{CA'}}$$
Dans les triangles ABF et SJF
$$-\dfrac{\overline{AB}}{\overline{FA}}=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{SF}}$$
Dans les triangles A'B'F et SIF
$$-\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{FA'}}=\dfrac{\overline{AB}}{\overline{SF}}$$
On en déduit la relation de conjugaison avec origine au sommet ou
encore \textbf{formule de Descartes} (déjà vu)
$$\boxed{\dfrac{1}{\overline{SA}}+\dfrac{1}{\overline{SA'}}=\dfrac{2}{\overline{SC}}}$$
avec origine au centre
$$\boxed{\dfrac{1}{\overline{CA}}+\dfrac{1}{\overline{CA'}}=\dfrac{2}{\overline{CS}}}$$
avec origine aux foyers ou encore \textbf{formule de Newton}
$$\boxed{\overline{FA}\,.\,\overline{FA'}=\overline{SF}^2=f^2=\dfrac{\overline{SC}^2}{4}}$$
Le \textbf{grandissement}
$$\boxed{\gamma=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=-\dfrac{\overline{SA'}}{\overline{SA}}=\dfrac{\overline{CA'}}{\overline{CA}}=-\dfrac{\overline{SF}}{\overline{FA}}=-\dfrac{\overline{FA'}}{\overline{SF}}}$$

\subsection{Le miroir plan (vu comme un limite du miroir
sphérique)} \noindent $\overline{SC}\to\infty\Rightarrow V=0$, le
miroir plan est
\textbf{afocal}\\
$$\dfrac{1}{\overline{SA}}+\dfrac{1}{\overline{SA'}}=0\Rightarrow
\overline{SA'}=-\overline{SA}\ et\ \gamma=+1$$








\section{Lentilles minces}
\subsection{Définition}
\graphique{height=4.5cm}{lentille} %
La lentille mince est constituée de deux dioptres sphériques qui
vérifient :
$$e=S_1S_2\ll C_1S_1$$
$$e\ll C_2S_2$$
$$e\ll C_1C_2$$
alors $S_1\simeq S_2\simeq O$ centre de la lentille.





\subsection{Lentille mince convergente ou divergente}
\noindent Lentille mince convergente :
\graphique{height=5cm}{lentille_convergente} %
Lentille mince divergente :
\graphique{height=5cm}{lentille_divergente} %


\subsection{Stigmatisme approché dans les conditions de Gauss -
Vergence}
\noindent Voir simulation.\\
L'image d'un point est un point ?\\
Oui si les rayons sont proches de l'axe et peu inclinés par
rapport à l'axe :
$$A\xrightarrow{lentille\ mince} A'$$
La \textbf{relation de conjugaison} donne alors la relation entre
la position de $A$ et de son conjugué $A'$ :
$$\boxed{\dfrac{1}{\overline{OA'}}-\dfrac{1}{\overline{OA}}=V}$$
en fonction de la \textbf{vergence} $V>0$ pour une lentille mince
convergente et $V<0$ pour une lentille mince divergente.




\subsection{Points particulier - Distance focale}
\noindent Les rayons passant par le \textbf{centre} O ne sont pas
déviés (on considère qu'au voisinage de O, on a une lame à faces
parallèles).\\
\\
$$A_\infty\xrightarrow{lentille\ mince} F'$$
$F'$ \textbf{foyer image} de la lentille tel que
$$\overline{OF'}=\dfrac{1}{V}=f'$$
\textbf{distance focale image} de la lentille.\\
\\
$$F\xrightarrow{lentille\ mince} A_\infty'$$
$F$ \textbf{foyer objet} de la lentille tel que
$$\overline{OF}=-\dfrac{1}{V}=f$$
\textbf{distance focale objet} de la lentille.\\
\\
Les foyers objet et image sont donc symétriques par rapport à O.




\subsection{Aplanétisme approché dans les conditions de Gauss -
Plan focaux} %
\noindent Voir expérience ou simulation.\\
Si
$$A_\infty\xrightarrow{lentille\ mince} F'$$
alors
$$B_\infty\xrightarrow{lentille\ mince} B'$$
$B'$ appartenant au plan perpendiculaire à l'axe optique et
passant par $F'$, plan appelé \textbf{plan focal image}.\\
De même le conjugué de $B_\infty'$ appartient au plan
perpendiculaire à l'axe optique et passant par $F$, plan appelé
\textbf{plan focal objet}.\\





\subsection{Modélisation de la lentille mince et constructions
géométriques}%
\subsubsection{Modélisation}
\noindent Cette modélisation concerne la lentille mince utilisée
dans les conditions de Gauss.\\
On dilate les schémas perpendiculairement à l'axe optique.\\
Lentille mince convergente :
\graphique{height=4cm}{modelisation_lentille_convergente} %
Lentille mince divergente :
\graphique{height=4cm}{modelisation_lentille_divergente} %
Attention, les lois de la réfraction ne sont plus vérifiées sur le schéma !

\subsubsection{Construction de l'image $A'$ d'un point $A$ sur l'axe}
$$A\rightarrow B\xrightarrow{stigmatisme} B'\xrightarrow{aplanetisme} A'$$
L'image d'un point étant un point, deux rayons suffisent pour
trouver $B'$ à choisir parmi les 3 rayons remarquables suivants :
\begin{itemize}
    \item Le rayon parallèle à l'axe (issu d'un point à l'infini
    sur l'axe) et passant par $B$ est transmis en passant par $F'$;
    \item Le rayon passant par $B$ et par $F$ est transmis
    parallèlement à l'axe;
    \item Le rayon passant par $B$ et par $O$ n'est pas dévié.
\end{itemize}
\graphique{height=5cm}{lentille_construction_image_point}


\subsubsection{Construction d'un rayon transmis}
$$B_\infty\rightarrow A_\infty\xrightarrow{stigmatisme} F'\xrightarrow{aplanetisme} B'$$
On fait comme si le rayon parvenait d'un point à l'infini en
dehors de l'axe; le rayon parallèle passant par O (provenant aussi
de $B_\infty$) coupe le plan focal en $B'$ conjugué de $B_\infty$;
Tous les rayons issus de $B_\infty$ convergent en $B'$ après
transmission (stigmatisme), le rayon est donc transmis en passant
par
$B'$ %
\graphique{height=5cm}{construction_rayon_transmis}



\subsection{Relations de conjugaison et grandissement}
\noindent Dans les triangles ABO et A'B'O
$$\dfrac{\overline{AB}}{\overline{OA}}=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{OA'}}$$
Dans les triangles ABF et OJF
$$\dfrac{\overline{AB}}{\overline{FA}}=-\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{OF}}$$
Dans les triangles A'B'F' et OIF'
$$\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{F'A'}}=-\dfrac{\overline{AB}}{\overline{OF'}}$$
On en déduit la relation de conjugaison avec origine au centre ou
encore \textbf{formule de Descartes} (déjà vu)
$$\boxed{\dfrac{1}{\overline{OA'}}-\dfrac{1}{\overline{OA}}=\dfrac{1}{\overline{OF'}}}$$
avec origine aux foyers ou encore \textbf{formule de Newton}
$$\boxed{\overline{FA}\,.\,\overline{F'A'}=\overline{OF}\,.\,\overline{OF'}=-f'^2}$$
Le \textbf{grandissement}
$$\boxed{\gamma=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}=-\dfrac{\overline{OF}}{\overline{FA}}=-\dfrac{\overline{F'A'}}{\overline{OF'}}}$$

\label{dernierepage}
\end{document}
