\documentclass[12pt,a4paper,landscape,twocolumn]{article}


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\lhead{MPSI - 2006/2007 - Mécanique I - \'Energie potentielle - \'Energie mécanique - Problèmes à un degré de liberté}      %en-tête
\chead{}%
\rhead{page \thepage/\pageref{dernierepage}}%
\lfoot{\tiny{Damien DECOUT - Derniere modification : janvier 2007}}%
\cfoot{}%
\rfoot{}%
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\pagestyle{fancy}




\newcounter{num}

\newcommand{\exo}[2]
{\addtocounter{num}{1}%
 \vspace{5mm}%
 \noindent\textbf{Exercice \thenum. #1.}\\%
 #2}


\newcommand{\cadre}[1]
{\begin{center}%
  \fbox{\begin{minipage}{13.3cm} #1 \end{minipage}}%
 \end{center}}


\newcommand{\graphique}[2]{
 \begin{center}
 \includegraphics[#1]{#2}
 \end{center}
}



\begin{document}



\part*{\'Energie potentielle - \'Energie mécanique - Problèmes à un degré de liberté}


\noindent Dans le chapitre précédent nous avons établi, à partir de
la 2\ieme\ loi de Newton, le théorème de l'énergie cinétique et
défini l'énergie cinétique, le travail et la puissance d'une force.

\tableofcontents




\section{Travail d'une force - Exemples}
\subsection{Force de pesanteur}
$$\delta W=\mathbf{F}.d\mathbf{OM}=-mg\,dz$$
$$W_{12}=-mg(z_2-z_1)=mgz_1-mgz_2=E_{p_1}-E_{p_2}$$
avec $$\boxed{E_p(z)=mgz+cte}$$ %
Attention à l'orientation des axes !


\subsection{Force de rappel élastique}
$$\delta W=\mathbf{F}.d\mathbf{OM}=-kx\,dx$$
$$W_{12}=-k(\dfrac{x_2^2}{2}-\dfrac{x_1^2}{2})=E_{p_1}-E_{p_2}$$
avec
$$\boxed{E_p(x)=\dfrac{1}{2}kx^2+cte}$$




\subsection{Force de frottement}
$$\delta W=\mathbf{F}.d\mathbf{OM}=-kv_x\,dx$$
$W_{12}$ ne peut pas se mettre sous la forme $E_{p_1}-E_{p_2}$.




\subsection{Exercice}
\noindent Soit dans le plan $Oxy$ un point matériel soumis à la
force :
$$\mathbf{F}=(y^2-x^2)\mathbf{e}_x+4xy\mathbf{e}_y$$
Calculer le travail de $O(0,0)$ à $A(1,1)$
\begin{itemize}
 \item suivant la droite $OA$.
 \item suivant $Ox$ de $x=0$ à $x=1$ puis suivant $Oy$ de $y=0$ à
 $y=1$.
 \item suivant $Oy$ de $y=0$ à $y=1$ puis suivant $Ox$ de $x=0$ à
 $x=1$.
\end{itemize}
$W$ dépend du chemin suivi.










\section{\'Energie potentielle}
\subsection{Force conservative...} %
\cadre{Une force est \emph{conservative} (ou encore dérive d'une
énergie potentielle) s'il existe une fonction $E_p(x,y,z,(t))$
appelée \emph{énergie potentielle} telle que $\delta W=-dE_p$.}
L'énergie potentielle est définie à une constante près.\\
\\
Le travail ne dépend plus du chemin suivi $$W=\int{\delta
W}=-\int{dE_p}=E_{p_1}-E_{p_2}=-\Delta E_p$$%
en particulier $\oint{\delta W}=0$.\\
\\
$\int{\delta W}=\int{\mathbf{F}.d\mathbf{OM}}$ est aussi appelée
circulation de $\mathbf{F}$.\\


\subsection{...ou force dérivant d'une énergie potentielle}
$$dE_p=-\delta
W=-\mathbf{F}.d\mathbf{OM}=-(F_x\,dx+F_y\,dy+F_z\,dz)$$
$$E_p(x,y,z)\Rightarrow dE_p=\dfrac{\partial E_p}{\partial x}\,dx+\dfrac{\partial E_p}{\partial y}\,dy+\dfrac{\partial E_p}{\partial z}\,dz$$
$$\left\lbrace
    \begin{array}{l}
      F_x=-\dfrac{\partial E_p}{\partial x}\\
      F_y=-\dfrac{\partial E_p}{\partial y}\\
      F_z=-\dfrac{\partial E_p}{\partial z}
    \end{array}
  \right.$$%
que l'on peut écrire de manière plus condensée
$\mathbf{F}=-\mathrm{\mathbf{grad}}(E_p)$.\\
\\
Exemple : le poids est opposé au gradient de $mgz$.\\
\\
Dans le plan $Oxy$, $\mathbf{F}$ dérive d'une énergie potentielle
si $\dfrac{\partial F_x}{\partial y}=\dfrac{\partial F_y}{\partial
x}$.\\
\\
Exemple : $\mathbf{F}=(y^2-x^2)\mathbf{e_x}+4xy\mathbf{e_y}$ ne
dérive pas d'une énergie potentielle.







\section{\'Energie mécanique}
\subsection{Définition}
$$dE_c=(\mathbf{F}^c+\mathbf{F}^{nc}).d\mathbf{OM}$$
$$dE_c=\delta W^c+\delta W^{nc}=-dE_p+\delta W^{nc}$$
$$d(E_c+E_p)=\delta W^{nc}$$
\cadre{$E_c+E_p=E_m$ appelé \emph{énergie mécanique}}%
\cadre{Dans un référentiel galiléen, la variation d'énergie
mécanique est égale au travail des forces non conservatives :
$$\Delta E_m=W^{nc}$$ ou encore dans un référentiel galiléen,
la dérivée de l'énergie mécanique par rapport au temps est égale à
la puissance des forces non conservatives :
$$\dfrac{dE_m}{dt}=\mathcal{P}^{nc}$$}

\subsection{Conservation}
\cadre{Si la puissance dissipée par les forces non conservatives
est nulle à tout instant alors $E_m=cte$ (équation appelée
\emph{intégrale première de l'énergie}).\\}%
Exemple du ressort :
$E_m=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2+\dfrac{1}{2}kx^2=cte$
$$\dfrac{dE_m}{dt}=0\Rightarrow m\dot{x}\ddot{x}+kx\dot{x}=0$$
Exemple du pendule :
$E_m=\dfrac{1}{2}m(l\dot{\theta})^2+mg\,l(1-\cos\theta)=cte$
$$\dfrac{dE_m}{dt}=0\Rightarrow ml^2\dot{\theta}\ddot{\theta}+mg\,l\sin{\theta}\dot{\theta}=0$$






\section{Problème à un degré de liberté}
\subsection{Positions d'équilibre}
\subsubsection{\'Equilibre stable - Exemple du ressort}
$$E_p=\dfrac{1}{2}kx^2$$
\psfrag{x}{$x$}\psfrag{Ep}{$E_p$}\psfrag{-a}{$-a$}\psfrag{a}{$a$}\psfrag{Ec}{$E_c$} \psfrag{Em}{$E_m$}\psfrag{F}{$\vec{F}$}
\graphique{width=10cm}{equilibre_stable} %
Comme $E_m=cte=E_c+E_p$ et $E_c\geq 0$, $E_m$ est la plus grande
valeur que puisse prendre $E_p$. Le mouvement est donc limité par
$x=-a$ et $x=+a$.
$$F_x=-\dfrac{dE_p}{dx}=-kx$$
Entre 0 et $a$, $F_x\leq 0$ ramène le système en $x=0$.\\
Entre 0 et $-a$, $F_x\geq 0$ ramène aussi le système en $x=0$.
\cadre{$x=0$, le minimum d'énergie potentielle, correspond à une
position d'équilibre stable pour le ressort.}





\subsubsection{\'Equilibre instable - Exemple du pendule}
$$E_p=mgl(1-\cos\theta)$$
\psfrag{F}{$\vec{F}$}\psfrag{th}{$\theta$}\psfrag{pi}{$\pi$}
\graphique{width=10cm}{equilibre_instable} %
\cadre{Comme pour le ressort, $\theta=0$, le minimum d'énergie
potentielle, correspond à une position d'équilibre stable pour le
pendule.} %
Regardons maintenant ce qui se passe autour du maximum d'énergie
potentielle $\theta=\pi$ :\\
$\delta W=F_r\,dr+F_\theta\,rd\theta=F_\theta\,ld\theta=-dE_p$
$$F_\theta=-\dfrac{1}{l}\dfrac{dE_p}{d\theta}=-mg\sin\theta$$
Entre 0 et $\pi$, $F_\theta\leq 0$ éloigne le système de $\theta=\pi$.\\
Entre $\pi$ et $2\pi$, $F_\theta\geq 0$ éloigne aussi le système
de $\theta=\pi$.%
\cadre{$\theta=\pi$, le maximum d'énergie potentielle, correspond
à une position d'équilibre instable pour le pendule.}



\subsubsection{Généralisation}
\psfrag{x1}{$x_1$}\psfrag{x2}{$x_2$}
\graphique{width=10cm}{equilibre_generalisation} %
Un minimum d'énergie potentielle $x_1$ correspond à une position
d'\textbf{équilibre stable} :
$$\boxed{\left(\dfrac{dE_p}{dx}\right)_{x_1}=0\quad\mathrm{et}\quad\left(\dfrac{d^2E_p}{dx^2}\right)_{x_1}>0} $$
Un maximum d'énergie potentielle $x_2$ correspond à une position
d'\textbf{équilibre instable} :
$$\boxed{\left(\dfrac{dE_p}{dx}\right)_{x_2}=0\quad\mathrm{et}\quad\left(\dfrac{d^2E_p}{dx^2}\right)_{x_2}<0} $$
Si $E_m<E_p(x_1)$, le système peut s'échapper vers les $x>0$, on a
un \textbf{état de diffusion}.\\
Si $E_p(x_1)<E_m<E_p(x_2)$, le système est confiné entre $x_a$ et
$x_b$, on a un \textbf{état lié}.\\
Si $E_m>E_p(x_2)$, on a encore un état de diffusion.\\
(Faire 3 schémas différents)






\subsection{Petits mouvements au voisinage d'une position
d'équilibre stable}
\subsubsection{Exemple du pendule}
\graphique{width=10cm}{pendule} %
$$E_p=mgl(1-\cos\theta)$$
Au voisinage de $\theta=0$, $\cos\theta\simeq
1-\dfrac{\theta^2}{2}$
$$E_p\simeq mgl\dfrac{\theta^2}{2}$$
$E_m=cte=\dfrac{1}{2}m(l\dot{\theta})^2+mgl\dfrac{\theta^2}{2}\Rightarrow
0=ml^2\dot{\theta}\ddot{\theta}+mg\,l\theta\dot{\theta}$
$$\ddot{\theta}+\dfrac{g}{l}\theta=0$$
Ce que l'on retrouve aussi en faisant $\sin\theta\simeq\theta$.

\subsubsection{Généralisation}
\noindent Une fonction $f(x)$ peut être développée autour de $x_0$
selon
$$f(x)=f(x_0)+\sum_{n=1}^\infty\dfrac{(x-x_0)^n}{n!}f^{(n)}(x_0)$$
(Développement en série de Taylor)\\
Exemple : $f(x)=\cos x$ autour de $x=0$
$$\cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}+...$$
Développons $E_p(x)$ autour d'une position d'équilibre $x=x_e$
\begin{eqnarray*}
 E_p(x) & = &
 E_p(x_e)+(x-x_e)\left(\dfrac{dE_p}{dx}\right)_{x_e}+\dfrac{(x-x_e)^2}{2}\left(\dfrac{d^2E_p}{dx^2}\right)_{x_e}+...\\
 & = & E_p(x_e)+0+\dfrac{1}{2}k(x-x_e)^2+...
\end{eqnarray*}
en posant $k=\left(\dfrac{d^2E_p}{dx^2}\right)_{x_e}$\\
L'énergie mécanique se conservant
$$E_m=cte=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2+E_p(x_e)+\dfrac{1}{2}k(x-x_e)^2\Rightarrow
m\ddot{x}+k(x-x_e)=0$$ ou encore en posant $X=x-x_e$
$$m\ddot{X}+kX=0$$
Si $k>0$, on retrouve l'équation différentielle de l'oscillateur
harmonique, le système oscille autour de la position d'équilibre
qui est donc stable.\\
Si $k<0$, $X=A\cosh (\omega t+\varphi)$, le système s'éloigne de
la position d'équilibre qui est donc instable.



\subsection{Portrait de phase}
\subsubsection{Déterminisme mécanique - \'Etat d'un système}
\noindent Pour un problème à un degré de liberté $x$, la
2\ieme~loi de Newton donne
$$m\dfrac{d^2x}{dt^2}=F\left(x,\dfrac{dx}{dt},t\right)$$
équation différentielle du 2\ieme~ordre équivalent à
$$\left\lbrace
    \begin{array}{l}
      \dfrac{dx}{dt}=v\\
      m\dfrac{dv}{dt}=F(x,v,t)
    \end{array}
  \right. $$%
système de deux équations différentielles d'ordre un.\\
Ce système admet une solution unique si $x(0)$ et $v(0)$ sont
donnés.%
\cadre{Les systèmes mécaniques ont une évolution unique pour des
conditions initiales déterminées (principe du déterminisme
mécanique).}%
L'\textbf{état d'un système} à un degré de liberté est représenté
à tout instant, par un point $P(t)$ de coordonnées ($x$,$v$) dans
un plan appelé \textbf{plan de phase}.%
\psfrag{O}{$O$}\psfrag{v}{$v$}\psfrag{P(0)}{$P(0)$}\psfrag{P(t)}{$P(t)$}\psfrag{x(0)}{$x(0)$}\psfrag{x(t)}{$x(t)$}\psfrag{v(0)}{$v(0)$}\psfrag{v(t)}{$v(t)$}



\graphique{width=9cm}{plan_phase} %
Quand le temps s'écoule, le point $P(t)$ décrit une courbe appelée
\textbf{trajectoire de phase}. Toute trajectoire de phase débute
en $P(0)$ de coordonnées ($x(0)$,$v(0)$).\\
Le \textbf{portrait de phase} d'un système est l'ensemble des
trajectoires de phase du sys obtenues en considérant l'ensemble
des conditions initiales réalisables.

\subsubsection{Lecture et interprétation}
\noindent (voir document)\\
\textbf{Oscillateur}\\
$$E_m=\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{2}kx^2=\dfrac{1}{2}ka^2$$
$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{v^2}{a^2\omega_0^2}=1$$
c'est l'équation d'une ellipse.\\
\\
\textbf{Oscillateur amorti}\\
L'énergie mécanique diminue.\\
\\
\textbf{Pendule}\\
Suivant les conditions initiales, le mouvement peut-être :
\begin{itemize}
    \item harmonique
    \item périodique mais non harmonique
    \item révolutif
\end{itemize}
Notons la sensibilité du pendule aux conditions initiales.\\
Retenons :%
\cadre{Si la trajectoire est fermée, le mouvement est périodique;
si la trajectoire est en plus elliptique, le mouvement est
sinusoïdal; une bosse (vitesse maximale) sur la trajectoire de
phase correspond à une position d'équilibre stable; un creux
(vitesse minimale) correspond à une position d'équilibre
instable.}


\label{dernierepage}

\end{document}
