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\lhead{MPSI - \'Electromagnétisme - \'Electrostatique}      %en-tête
\chead{}%
\rhead{page \thepage/\pageref{dernierepage}}%
\lfoot{\tiny{Damien DECOUT - Dernière modification : avril 2007}}%
\cfoot{}%
\rfoot{}%
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\newcounter{num}

\newcommand{\exo}[2]
{\addtocounter{num}{1}%
 \vspace{5mm}%
 \noindent\textbf{Exercice \thenum. #1.}\\%
 #2}


\newcommand{\cadre}[1]
{\begin{center}%
  \fbox{\begin{minipage}{13.3cm} #1 \end{minipage}}%
 \end{center}}


\newcommand{\graphique}[2]{
 \begin{center}
 \includegraphics[#1]{#2}
 \end{center}
}



\begin{document}



\part*{\'Electrostatique}

\tableofcontents%


\section{La charge électrique}
\subsection{Propriétés}
\noindent On appelle \textbf{charge} d'une particule une grandeur
qui caractérise les interactions électromagnétiques qu'elle exerce
ainsi que celles qu'elle subit (voir masse et interaction
gravitationnelle).\\
La charge est une grandeur scalaire pouvant prendre des valeurs
positives ou négatives.\\
\\
La charge est \textbf{quantifiée}
$$q=Ze$$
où $Z$ est un entier relatif et
$$e=1,6.10^{-19}\,C$$
le coulomb étant l'unité de la charge.\\
\\
La charge est une grandeur \textbf{conservative} : la charge
totale d'un système fermé est constante au cours du temps.\\
\\
La charge totale d'un système ne dépend pas du référentiel dans
lequel on la mesure (principe d'\textbf{invariance} de la charge).

\subsection{Distributions de charges}
\subsubsection{Distribution volumique}
\noindent L'approximation des milieux continus permet de définir
une \textbf{densité volumique de charge} ou \textbf{charge
volumique}
$$\rho=\dfrac{dq}{d\tau}$$
où $dq=\sum q_i$ est la charge contenue dans le volume $d\tau$
petit à l'échelle macro et grand à l'échelle micro
$$\boxed{dq=\rho d\tau}$$

\subsubsection{Distribution surfacique}
\noindent Si une des 3 dimensions est négligeable par rapport aux
deux autres, on peut définir une \textbf{densité surfacique de
charge} ou \textbf{charge surfacique}
$$\boxed{dq=\rho\, hdS=\sigma dS}$$

\subsubsection{Distribution linéïque}
\noindent Si deux des 3 dimensions sont négligeables par rapport à
la troisième, on peut définir une \textbf{densité linéïque de
charge} ou \textbf{charge linéïque}
$$\boxed{dq=\lambda dl}$$



\section{Champ électrostatique}
\subsection{Loi de Coulomb}
\noindent Soit $q_1$ en $M_1$ et $q_2$ en $M_2$
$$\boxed{\mathbf{F}_{1\rightarrow
2}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q_1q_2}{{M_1M_2}^2}\dfrac{\mathbf{M_1M_2}}{M_1M_2}}$$
avec $\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}=9.10^9\,SI$

\subsection{Champ d'une charge ponctuelle}
\noindent Soit $q$ en $O$ et $q'$ en $M$
$$\mathbf{F}_{q\rightarrow
q'}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{qq'}{{OM}^2}\dfrac{\mathbf{OM}}{OM}=q'\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\mathbf{OM}}{OM^3}=q'\,\mathbf{E}_q(M)$$
où
$$\boxed{\mathbf{E}_q(M)=\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\mathbf{OM}}{OM^3}}$$
est le champ créé par la charge $q$ en $M$.



\subsection{Principe de superposition}
\noindent Soit $q_1$ en $O_1$, $q_2$ en $O_2$, $q_3$ en $O_3$...
De l'addition vectorielle des forces découle le principe de
superposition des champs
$$\mathbf{E}(M)=\sum_i\mathbf{E}_i(M)=\sum_i\dfrac{q_i}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\mathbf{O_iM}}{O_iM^3}$$
En particulier, la force avec laquelle interagissent deux charges
n'est pas modifiée par la présence d'une troisième charge.

\subsection{Champ d'une distribution}
\noindent On découpe la distribution en morceaux assez petits pour
pouvoir considérer que la charge $dq$ du morceau est localisée au
point P; cette charge crée alors un champ
$$\mathbf{E}(M)=\dfrac{dq}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\mathbf{PM}}{PM^3}$$
Le champ créé par la distribution est alors la somme des champs
créés par les morceaux; la distribution étant continue, on
remplace la somme par une intégrale
$$\mathbf{E}(M)=\int\dfrac{dq}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\mathbf{PM}}{PM^3}$$
pour une distribution volumique
$$\boxed{\mathbf{E}(M)=\int\dfrac{\rho(P)d\tau}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\mathbf{PM}}{PM^3}}$$
pour une distribution surfacique
$$\boxed{\mathbf{E}(M)=\int\dfrac{\sigma(P)dS}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\mathbf{PM}}{PM^3}}$$
pour une distribution linéïque
$$\boxed{\mathbf{E}(M)=\int\dfrac{\lambda(P)dl}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\mathbf{PM}}{PM^3}}$$


\subsection{Lignes de champ}
\noindent Une \textbf{ligne de champ} est tangente en chacun de
ses points M au champ $\mathbf{E}(M)$\\
\\
Elle vérifie les propriétés suivantes :\\
1. Les lignes de champ électrostatique divergent à partir des charges positives et convergent vers les charges négatives.\\
2. Lorsqu'il est défini, le champ électrostatique est nul au point
d'intersection de deux lignes de champ (deux lignes de champ ne
peuvent donc se couper que si $\mathbf{E}(M)=0$ ou $\mathbf{E}(M)$
non défini).\\
3. Les lignes de champ électrostatique d'une distribution
\begin{itemize}
\item partent à l'infini si la distribution est globalement
positive \item proviennent de l'infini si la distribution est
globalement négative \item n'aboutissent ni ne proviennent de
l'infini si la distribution est globalement neutre
\end{itemize}



\section{Invariances et symétries}
\subsection{Invariances des distributions de charges}
\noindent Une distribution, illimitée dans la direction de l'axe
$\Delta$, est \textbf{invariante par translation} suivant $\Delta$
si, pour tout point M et son translaté M', sa densité de charge
vérifie $\rho(M)=\rho(M')$.\\
exemple : distribution invariante par translation suivant Oz
$$\rho(r,\theta,z)=\rho(r,\theta)$$
Une distribution, est \textbf{invariante par rotation} autour d'un
axe $\Delta$ si, pour tout point M et M' obtenu après rotation, sa
densité de charge vérifie $\rho(M)=\rho(M')$.\\
exemple : distribution invariante par rotation autour d'un axe Oz
$$\rho(r,\theta,z)=\rho(r,z)$$
Une distribution à \textbf{symétrie cylindrique} est telle que
$$\rho(r,\theta,z)=\rho(r)$$
(invariance par rotation autour de Oz et invariance par
translation suivant Oz)\\
\\
Une distribution à \textbf{symétrie sphérique} est telle que
$$\rho(r,\theta,\varphi)=\rho(r)$$
(invariance par rotation autour de $\mathbf{e}_\varphi$ et
invariance par rotation autour de Oz)\

\subsection{Plan de symétrie et plan d'antisymétrie}
\noindent Une distribution est symétrique par rapport à un plan
$\Pi$ si, pour tout point M il existe un symétrique M', et si sa
densité de charge vérifie
$$\rho(M)=\rho(M')$$
Une distribution est antisymétrique par rapport à un plan $\Pi^*$
si, pour tout point M il existe un symétrique M', et si sa densité
de charge vérifie
$$\rho(M)=-\rho(M')$$

\subsection{Conséquences pour le champ électrostatique}
\noindent Nous généralisons les observations des cartes de champ :\\
\\
$\mathbf{E}$ est transformé en son symétrique par un plan $\Pi$
$$\mathbf{E}(M')=sym\,\mathbf{E}(M)$$
d'autre part $$\boxed{\mathbf{E}(M\in\Pi)\in\Pi}$$ $\mathbf{E}$
est transformé en son antisymétrique par un plan $\Pi^*$
$$\mathbf{E}(M')=-sym\,\mathbf{E}(M)$$
$$\boxed{\mathbf{E}(M\in\Pi^*)\bot\Pi^*}$$%
D'autre part, le champ électrostatique (effet) possède au moins
les invariances  des distributions de charges (cause).

\section{Potentiel électrostatique}
\subsection{Circulation de E}
\noindent Rappelons l'expression de la force exercée par la charge
$q$ en O sur la charge $q'$ en M
$$\mathbf{F}=q'\,\mathbf{E}(M)$$
Calculons le travail de $\mathbf{F}$ encore appelé circulation de
$\mathbf{F}$
$$W=\int\mathbf{F}.d\mathbf{OM}=q'\int\mathbf{E(M)}.d\mathbf{OM}$$
Intéressons nous à la circulation de $\mathbf{E}$
$$\int_A^B\mathbf{E(M)}.d\mathbf{OM}=\int\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q}{r^2}\mathbf{e}_r.dr\,\mathbf{e}_r=\int\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{dr}{r^2}=\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\left(\dfrac{1}{r_A}-\dfrac{1}{r_B}\right)$$
\cadre{La circulation de $\mathbf{E}$ est conservative, elle ne
dépend pas du chemin suivi.}%
Le principe de superposition permet de généraliser ce résultat à
une distribution de charge quelconque.


\subsection{Potentiel}
\noindent La circulation de $\mathbf{E}$ peut donc s'écrire
$$\int_A^B\mathbf{E(M)}.d\mathbf{OM}=V(A)-V(B)$$
où $V$ est une fonction appelée potentiel électrostatique.\\
Dans le cas particulier de la charge ponctuelle
$$V(r)=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q}{r}$$
Le potentiel est défini à une constante près.\\
\\
Connaissant le potentiel, on peut en déduire le champ par
$$\boxed{\mathbf{E}=-\mathbf{grad}\,V}$$
Un champ de vecteur $\mathbf{E}$ à circulation conservative est un
champ de gradient.

\subsection{Potentiel créé par une distribution de charges}
\noindent Pour une distribution de charges discontinues
$$V(M)=\sum\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q_i}{P_iM}$$
Pour une distribution volumique
$$\boxed{V(M)=\int\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\rho(P)d\tau}{PM}}$$
Pour une distribution surfacique
$$\boxed{V(M)=\int\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\sigma(P)dS}{PM}}$$
Pour une distribution linéïque
$$\boxed{V(M)=\int\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\lambda(P)dl}{PM}}$$


\subsection{Surfaces équipotentielles}
\cadre{Le champ est perpendiculaire aux surfaces équipotentielles}
$$dV=0\Rightarrow\mathbf{E}.\mathbf{dOM}=0$$
\cadre{Les lignes de champ sont orientées dans le sens des
potentiels décroissants}
$$dV<0\Rightarrow\mathbf{E}.\mathbf{dOM}>0$$

\subsection{\'Energie potentielle}
\noindent Reprenons l'expression du travail
$$W=q'(V(A)-V(B))=E_p(A)-E_p(B)$$
$$\boxed{E_p(M)=q'V(M)}$$
est l'\textbf{énergie potentielle} que possède la charge $q'$ du
fait de sa position M dans le champ scalaire $V$.\\
\\
L'\textbf{énergie potentielle d'interaction} entre deux charges
$q_1$ et $q_2$ est égale à
$$E_{p_{12}}=q_1V_2(M_1)=q_2V_1(M_2)=\dfrac{1}{2}\left(q_1V_2(M_1)+q_2V_1(M_2)\right)=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q_1q_2}{M_1M_2}$$




\section{Théorème de Gauss}
\cadre{Le flux du champ électrostatique sortant d'une surface
fermée $\mathcal{S}$ est égal à la charge totale $Q_{int}$
enfermée dans cette surface divisée par $\epsilon_0$
$$\Phi=\oint_\mathcal{S}\mathbf{E}.\mathbf{n}_{ext}dS=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}$$}
Vérifions en calculant le flux sortant d'une surface sphérique de
rayon $r$ enfermant une charge ponctuelle $q$ en O :
$$\Phi=\oint_\mathcal{S}\mathbf{E}.\mathbf{n}_{ext}\,dS=\oint_\mathcal{S}\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q}{r^2}\,\mathbf{e}_r.\mathbf{e}_r\,dS=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q}{r^2}\oint dS=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q}{r^2}\,4\pi r^2=\dfrac{q}{\epsilon_0}$$

\section{Analogie gravitationnelle}
\noindent Tous les résultats précédents ont leur analogue pour la
gravitation en remplaçant la charge $q$ par la masse $m$ et
$\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}$ par $-\mathcal{G}$ constante de
gravitation.\\
\\
Le champ de gravitation
$$\mathbf{F}=m'\mathbf{G}\quad
avec\quad\mathbf{G}=-\mathcal{G}\dfrac{m}{r^2}\mathbf{e}_r$$%
L'énergie potentielle gravitationnelle
$$E_p=m'V\quad avec\quad V=-\mathcal{G}\dfrac{m}{r}$$
Le théorème de Gauss
$$\Phi=\oint_\mathcal{S}\mathbf{G}.\mathbf{n}_{ext}dS=-4\pi\mathcal{G}M_{int}$$



\section{Le dipôle électrostatique}
\noindent Un dipôle électrostatique est un système constitué de
deux charges ponctuelles opposées dont les dimensions sont petites
par rapport à la distance d'observation.
\subsection{Actions exercées par un dipôle}
\noindent Soit les charge $-q$ en $A(z=-\frac{d}{2})$ et $+q$ en
$B(z=+\frac{d}{2})$ observées à une distance $r=OM\gg d$ . On
notera $\theta$ l'angle $(\mathbf{e}_z,\mathbf{OM})$.
$$V(M)=\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\left(\dfrac{1}{BM}-\dfrac{1}{AM}\right)$$
$BM^2=(\mathbf{OM}-\mathbf{OB})^2=r^2-rd\cos\theta+\dfrac{d^2}{4}=r^2\left(1-\dfrac{d\cos\theta}{r}+\dfrac{d^2}{4r^2}\right)$
$$\dfrac{1}{BM}=\dfrac{1}{r}\left(1-\dfrac{d\cos\theta}{r}+\dfrac{d^2}{4r^2}\right)^{-1/2}\simeq\dfrac{1}{r}\left(1+\dfrac{d\cos\theta}{2r}\right)$$
de même
$$\dfrac{1}{AM}\simeq\dfrac{1}{r}\left(1-\dfrac{d\cos\theta}{2r}\right)$$
finalement
$$\boxed{V(M)=\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{d\cos\theta}{r^2}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\mathbf{p}.\mathbf{e}_r}{r^2}}$$
avec
$$\boxed{\mathbf{p}=qd\mathbf{e}_z=q\mathbf{AB}}$$
\textbf{moment dipolaire}\\
\\
On calcule le champ électrostatique grâce à
$$\mathbf{E}=-\mathbf{grad}V$$
ou encore
$$E_r=-\dfrac{\partial V}{\partial r}\qquad E_\theta=-\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial V}{\partial\theta}\qquad E_\varphi=-\dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial V}{\partial\varphi}$$
ce qui donne
$$E_r=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{2p\cos\theta}{r^3}\qquad
E_\theta=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{p\sin\theta}{r^3}\qquad
E_\varphi=0$$%
On pourra vérifier
$$\mathbf{E}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0r^3}\left(\dfrac{3\mathbf{p}.\mathbf{r}}{r^2}\mathbf{r}-\mathbf{p}\right)$$

\subsection{Actions subies par un dipôle}
\noindent Dans ce qui suit, $\mathbf{E}$ ne désigne plus le champ
créé par le dipôle mais un champ extérieur dans lequel est plongé
le dipôle.\\
\\
Le dipôle subit alors les actions
$$\mathbf{F}=q\mathbf{E}-q\mathbf{E}=0$$
$$\mathbf{M}_O=\mathbf{OB}\wedge q\mathbf{E}+\mathbf{OA}\wedge
-q\mathbf{E}=q\mathbf{AB}\wedge\mathbf{E}=\mathbf{p}\wedge\mathbf{E}$$
Nous admettrons l'expression de l'énergie potentielle du dipôle
plongé dans le champ extérieur $\mathbf{E}$
$$E_p=-\mathbf{p}.\mathbf{E}$$
qui est minimale lorsque le dipôle s'aligne sur le champ.


\label{dernierepage}
\end{document}
