\documentclass[11pt,a4paper,landscape,twocolumn]{article}


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\lhead{MPSI - \'Electrocinétique II - Filtre du 1\ier ordre}      %en-tête
\chead{}%
\rhead{page \thepage/\pageref{dernierepage}}%
\lfoot{\tiny{Damien DECOUT - Dernière modification : janvier 2007}}%
\cfoot{}%
\rfoot{}%
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\newcommand{\cadre}[1]
{\begin{center}%
  \fbox{\begin{minipage}{13.3cm} #1 \end{minipage}}%
 \end{center}}



\newcommand{\graphique}[2]{
 \begin{center}
 \includegraphics[#1]{#2}
 \end{center}
}




\begin{document}



\part*{Filtre du 1\ier ordre}


\tableofcontents




\section{Introduction}
\noindent Qu'est-ce qu'un filtre ?\\
\\
De même qu'un filtre optique ne laisse passer que certaines
couleurs, un filtre en électrocinétique ne laissera passer que
certains signaux sinusoïdaux caractérisés par une pulsation $\omega$.\\
\\
A l'entrée du filtre, on applique par exemple une tension de pulsation $\omega$; si, à la sortie du filtre, la tension n'est pas trop atténuée,
on considère que le filtre laisse passer la pulsation $\omega$; si au contraire, la tension est très atténuée, on considère que le filtre ne
laisse pas passer la pulsation $\omega$.

\cadre{Le filtre sera alors caractérisé par l'ensemble des pulsations ou
fréquences qu'il laisse passer appelé \textbf{bande passante}.\\
Un filtre \textbf{passe bas} laisse passer les pulsations inférieures à une pulsation $\omega_c$.\\
Un filtre \textbf{passe haut} laisse passer les pulsations supérieures à une pulsation $\omega_c$.\\
Un filtre \textbf{passe bande} laisse passer les pulsations comprises entre ${\omega_c}_1$ et ${\omega_c}_2$.\\
Un filtre \textbf{coupe bande} ou \textbf{réjecteur de bande} laisse passer les pulsations inférieures à ${\omega_c}_1$ et supérieures à
${\omega_c}_2$.}%
Un filtre peut donc être utilisé pour ne sélectionner que
certaines pulsations (radio, TV...).\\
\\
D'une manière générale, comme tout signal périodique peut-être
considéré comme une superposition de signaux sinusoïdaux,
connaissant le \emph{spectre} du signal d'entrée et les
caractéristiques du filtres, on peut en déduire le spectre du
signal de sortie et donc la forme du signal après passage dans le
filtre.



\section{Filtre passe-bas du premier ordre}
\psfrag{ue}{$u_e$}\psfrag{ie}{$i_e$}\psfrag{R}{$R$}\psfrag{is=0}{$i_s=0$}\psfrag{us}{$u_s$}
\graphique{width=8cm}{passebas}%

\subsection{Comportement asymptotique}
\noindent L'impédance du condensateur vaut
$$\underline{Z}_C=\dfrac{1}{jC\omega}$$
Si $\omega\to 0$ alors $\underline{Z}_C\to\infty$ (refaire le
schéma en supprimant la branche contenant le condensateur) et
$\underline{U}_s\to\underline{U}_e$.\\
\\
Si $\omega\to \infty$ alors $\underline{Z}_C\to 0$ (refaire le
schéma en remplaçant la branche contenant le condensateur par un
fil) et $\underline{U}_s\to 0$.\\
\\
On peut donc déjà dire que le filtre transmet les signaux de basse
fréquence et atténue ceux de haute fréquence d'où la dénomination
de \emph{filtre passe-bas}.


\subsection{Fonction de transfert}
\noindent La fonction de transfert est définie par
$$\boxed{\underline{H}(j\omega)=\dfrac{\underline{U}_s}{\underline{U}_e}}$$
$\dfrac{\underline{U}_s}{\underline{U}_e}=\dfrac{\dfrac{1}{jC\omega}}{R+\dfrac{1}{jC\omega}}=\dfrac{1}{1+jRC\omega}$
$$\boxed{\underline{H}(j\omega)=\dfrac{1}{1+j\dfrac{\omega}{\omega_0}}}$$
en posant $\omega_0=\dfrac{1}{RC}$

\subsection{Diagramme de Bode - Pulsation de coupure à -3dB}
\subsubsection{Représentation de la courbe de gain}
\noindent Le module de la fonction de transfert est appelé
\textbf{gain}
$$H(\omega)=|\underline{H}(j\omega)|=\dfrac{1}{\sqrt{1+\left(\dfrac{\omega}{\omega_0}\right)^2}}$$
expérimentalement
$H(\omega)=\dfrac{{U_s}_m}{{U_e}_m}=\dfrac{U_s}{U_e}$
(oscilloscope ou multimètre)\\
\\
On définie le \textbf{gain en décibel}
$$\boxed{G_{dB}=20\log |\underline{H}(j\omega)|}$$
$$=-10\log\left(1+\left(\dfrac{\omega}{\omega_0}\right)^2\right)$$
\\
On représente le gain en décibel non pas en fonction de
$\dfrac{\omega}{\omega_0}$ (ou $\omega$ ou $f$) mais en fonction
de $\log\dfrac{\omega}{\omega_0}$ (la plage de fréquence pouvant
s'étendre de quelques $Hz$ à $10^6\,Hz$ et
plus)\\
\\
Si $\omega$ petit devant $\omega_0$ alors $G_{dB}\simeq 0$\\
\\
Si $\omega$ grand devant $\omega_0$ alors $G_{dB}\simeq
-20\log\dfrac{\omega}{\omega_0}$ droite de pente $-20\,dB$ par
décade ce qui signifie que si $\omega$ est multiplié par 10,
$\log\dfrac{\omega}{\omega_0}$ augmente de 1 et $G_{dB}$ diminue
de $20\,dB$%

\psfrag{logx}{$\log\dfrac{\omega}{\omega_0}$}\psfrag{GdB}{$GdB$}\psfrag{-1}{$-1$}\psfrag{-2}{$-2$}\psfrag{0}{$0$}\psfrag{1}{$1$}\psfrag{2}{$2$}\psfrag{-20}{$-20$}
\graphique{width=11cm}{passebas_gain}%
Les deux asymptotes se coupent pour
$0=-20\log\dfrac{\omega}{\omega_0}$ c'est à dire pour
$\omega=\omega_0$;\\
pour $\omega=\omega_0$, $H(\omega)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ et
$G_{dB}=20\log\dfrac{1}{\sqrt{2}}\simeq-3\,dB$. $\omega_0$ est
appelé pulsation de coupure à $-3\,dB$ et noté $\omega_c$.\\
\\
La \textbf{pulsation de coupure à $-3\,dB$} du filtre est par
définition la pulsation telle que
$$\boxed{G_{dB}(\omega_c)=-3\,dB}$$
Elle peut être interprétée comme la limite entre les comportements
BF et HF du filtre :\\
les signaux de pulsations $\omega<\omega_c$ sont transmis en
sortie avec une atténuation inférieure à $3\,dB$;\\
les signaux de pulsations $\omega>\omega_c$ sont transmis en
sortie avec une atténuation supérieure à $3\,dB$;\\
Idéalement on considérera que le filtre laisse passer une
pulsation $\omega$ si l'atténuation en sortie est inférieure à
$3\,dB$.\\
\\
La \textbf{bande passante} de ce filtre, c'est à dire l'ensemble
des pulsations qu'il laisse passer, est donc $[0,\omega_0]$.


\subsubsection{Représentation de la courbe de phase}
\noindent L'argument de la fonction de transfert est appelé
\textbf{phase}
$$\boxed{\varphi(\omega)=\arg\underline{H}(j\omega)}$$
$$=0-\arg(1+j\dfrac{\omega}{\omega_0})=-\arctan\dfrac{\omega}{\omega_0}$$
expérimentalement $\varphi(\omega)=\varphi_s-\varphi_e$
(oscilloscope)\\
\\
On représente la phase non pas en fonction de
$\dfrac{\omega}{\omega_0}$ (ou $\omega$ ou $f$) mais en fonction
de $\log\dfrac{\omega}{\omega_0}$ (la plage de fréquence pouvant
s'étendre de quelques $Hz$ à $10^6\,Hz$ et
plus)\\
\\
Si $\omega$ petit devant $\omega_0$ alors $\varphi\simeq 0$\\
\\
Si $\omega$ grand devant $\omega_0$ alors $\varphi\simeq
-\dfrac{\pi}{2}$\\
\\
Si $\omega=\omega_0$ alors $\varphi=-\dfrac{\pi}{4}$\\
\\
\psfrag{phi}{$\varphi$}\psfrag{-pi/2}{$-\dfrac{\pi}{2}$}
\graphique{width=11cm}{passebas_phase}%
Pour $\omega=0,1\omega_0$, $\varphi=-6°$\\
Pour $\omega=10\omega_0$, $\varphi=84°$\\
L'essentiel de la rotation de phase se fait donc entre
$0,1\omega_0$ et $10\omega_0$ c'est à dire sur deux décades.




\section{Filtre passe-haut du premier ordre}

\graphique{width=8cm}{passehaut}%
\subsection{Comportement asymptotique}
\noindent L'impédance du condensateur vaut
$$\underline{Z}_C=\dfrac{1}{jC\omega}$$
Si $\omega\to 0$ alors $\underline{Z}_C\to\infty$ (refaire le
schéma en supprimant la branche contenant le condensateur) et
$\underline{U}_s\to 0$.\\
\\
Si $\omega\to \infty$ alors $\underline{Z}_C\to 0$ (refaire le
schéma en remplaçant la branche contenant le condensateur par un
fil) et $\underline{U}_s\to\underline{U}_e$.\\
\\
On peut donc déjà dire que le filtre transmet les signaux de haute
fréquence et atténue ceux de basse fréquence d'où la dénomination
de \emph{filtre passe-haut}.

\subsection{Fonction de transfert}
\noindent La fonction de transfert est définie par
$$\boxed{\underline{H}(j\omega)=\dfrac{\underline{U}_s}{\underline{U}_e}}$$
$\dfrac{\underline{U}_s}{\underline{U}_e}=\dfrac{R}{R+\dfrac{1}{jC\omega}}=\dfrac{jRC\omega}{1+jRC\omega}$
$$\boxed{\underline{H}(j\omega)=\dfrac{j\dfrac{\omega}{\omega_0}}{1+j\dfrac{\omega}{\omega_0}}}$$
en posant $\omega_0=\dfrac{1}{RC}$

\subsection{Diagramme de Bode - Pulsation de coupure à -3dB}
\subsubsection{Représentation de la courbe de gain}
$$H(\omega)=|\underline{H}(j\omega)|=\dfrac{\dfrac{\omega}{\omega_0}}{\sqrt{1+\left(\dfrac{\omega}{\omega_0}\right)^2}}$$
expérimentalement
$H(\omega)=\dfrac{{U_s}_m}{{U_e}_m}=\dfrac{U_s}{U_e}$
(oscilloscope ou multimètre)\\
\\
$$\boxed{G_{dB}=20\log |\underline{H}(j\omega)|}$$
$$=20\log\dfrac{\omega}{\omega_0}-10\log\left(1+\left(\dfrac{\omega}{\omega_0}\right)^2\right)$$
\\
Si $\omega$ petit devant $\omega_0$ alors $G_{dB}\simeq 20\log\dfrac{\omega}{\omega_0}$\\
\\
Si $\omega$ grand devant $\omega_0$ alors $G_{dB}\simeq
20\log\dfrac{\omega}{\omega_0}-10\log\left(\dfrac{\omega}{\omega_0}\right)^2=0$
\graphique{width=11cm}{passehaut_gain}%
Les deux asymptotes se coupent pour
$0=20\log\dfrac{\omega}{\omega_0}$ c'est à dire pour
$\omega=\omega_0=\omega_c$, pulsation de coupure à $-3\,dB$.\\
\\
La \textbf{bande passante} de ce filtre, c'est à dire l'ensemble
des pulsations qu'il laisse passer, est donc $[\omega_0,\infty[$.


\subsubsection{Représentation de la courbe de phase}
$$\boxed{\varphi(\omega)=\arg\underline{H}(j\omega)}$$
$$=\arg(j\dfrac{\omega}{\omega_0})-\arg(1+j\dfrac{\omega}{\omega_0})=\dfrac{\pi}{2}-\arctan\dfrac{\omega}{\omega_0}$$
expérimentalement $\varphi(\omega)=\varphi_s-\varphi_e$
(oscilloscope)\\
\\
La courbe se déduit de celle du passe-bas par une translation de $\dfrac{\pi}{2}$.%
\psfrag{pi/2}{$\dfrac{\pi}{2}$}
\graphique{width=11cm}{passehaut_phase}%



\section{Généralisation}
\subsection{Filtre linéaire}
\noindent Un filtre est linéaire si tous les éléments qui le
constituent sont linéaires, alors :\\
- si le signal d'entrée est sinusoïdal de pulsation $\omega$, le
signal de sortie est également sinusoïdal de même pulsation;\\
- les tensions d'entrée $u_e$ et de sortie $u_s$ sont reliées par
une équation différentielle linéaire à coefficients constants
$$A_n\dfrac{d^nu_s}{dt^n}+...+A_1\dfrac{du_s}{dt}+A_0u_s=B_m\dfrac{d^mu_e}{dt^m}+...+B_1\dfrac{du_e}{dt}+B_0u_e$$
\\
Un filtre passif ne comporte que des éléments passifs; la
puissance moyenne disponible en sortie est donc toujours
inférieure ou égale à la puissance moyenne reçue en entrée.\\
\\
Un filtre actif comporte en plus des sources (AO par exemple); la
puissance moyenne disponible en sortie peut alors être supérieure
à celle reçue en entrée.

\subsection{Fonction de transfert en régime sinusoïdal}
\noindent $u_e=U_e\sqrt{2}\cos(\omega t+\varphi_e)$
$$\underline{u}_e=\underline{U}_e\exp(j\omega t)$$
$u_s=U_s\sqrt{2}\cos(\omega t+\varphi_s)$
$$\underline{u}_s=\underline{U}_s\exp(j\omega t)$$
L'équation différentielle devient alors
$$A_n(j\omega)^n\underline{u}_s+...+A_1(j\omega)\underline{u}_s+A_0\underline{u}_s=B_m(j\omega)^m\underline{u}_e+...+B_1(j\omega)\underline{u}_e+B_0\underline{u}_e$$
ce qui permet d'exprimer le rapport
$$\dfrac{\underline{u}_s}{\underline{u}_e}=\dfrac{B_0+B_1(j\omega)+...+B_m(j\omega)^m}{A_0+A_1(j\omega)+...+A_n(j\omega)^n}$$
appelé fonction de transfert
$$\boxed{\underline{H}(j\omega)=\dfrac{\underline{U}_s}{\underline{U}_e}}$$
Son module donne le rapport tension de sortie sur tension d'entrée
$$|\underline{H}(j\omega)|=\dfrac{{U_s}_m}{{U_e}_m}=\dfrac{U_s}{U_e}$$
Son argument donne la différence de phase entre la tension de
sortie et la tension d'entrée
$$\arg \underline{H}(j\omega)=\varphi_s-\varphi_e$$
\\
La fonction de transfert n'est pas une propriété intrinsèque du
filtre, elle dépend du filtre mais aussi de la charge branchée à
la sortie de celui-ci.\\
\\
Pour tous les systèmes réels $H(\omega)$ garde une valeur finie ce
qui implique que $m$ est toujours inférieur à $n$ qui défini
l'ordre du filtre.\\
\\
La fonction de transfert d'un filtre s'étudie en général sur un
domaine fréquentiel très étendu (de 0 jusqu'à éventuellement
plusieurs MHz), il est alors très utile d'introduire des échelles
log.\\
\\
\cadre{Le \textbf{diagramme de Bode} comprend la représentation :
\begin{itemize}
    \item du gain en décibel $G_{dB}=20\log |\underline{H}(j\omega)|$ en fonction de
$\log\dfrac{\omega}{\omega_0}$ ou en fonction de
$\dfrac{\omega}{\omega_0}$ sur du papier semilog;
    \item de la phase $\varphi=\arg \underline{H}(j\omega)$ en fonction de
$\log\dfrac{\omega}{\omega_0}$ ou en fonction de
$\dfrac{\omega}{\omega_0}$ sur du papier semilog.
\end{itemize}}

\label{dernierepage}

\end{document}
